Gustavo Bueno afirmó en una de sus conferencias que la filosofía y la matemática deben buena parte de sus modelos argumentativos a la geometría y, citando a Lenin, sostuvo que la abstracción, cuando es correcta, nos acerca a la realidad (Fundación Gustavo Bueno, 2025). Esta afirmación nos llevó a formular la tesis central de este ensayo: aunque filosofía y matemática comparten históricamente estructuras deductivas inspiradas en la geometría, su relación con la realidad es profundamente distinta, pues mientras la matemática moderna tiende a una autonomización formal progresiva, la filosofía —al igual que la geometría clásica— conserva una orientación constitutiva hacia la experiencia, el mundo y las condiciones de sentido de la vida social.
El objetivo de este trabajo es mostrar que esta divergencia no implica una ruptura absoluta entre abstracción y realidad, sino una transformación en los modos de organización del saber, en la que la geometría ocupa un lugar intermedio y decisivo entre la formalización matemática y la reflexión filosófica.
Aunque la geometría forma parte de la matemática, no se identifican plenamente. La geometría surge históricamente como una abstracción racional de la experiencia espacial y conserva, incluso en sus versiones formales, una referencia originaria a la intuición del espacio, ya sea físico o idealizado. En el Antiguo Egipto, por ejemplo, los desbordes periódicos del río Nilo borraban los límites de las parcelas agrícolas, lo que obligó a crear técnicas geométricas para medir, reconstruir terrenos y resolver conflictos de propiedad. Por ello, la geometría surge así como un saber práctico ligado a la vida social y jurídica. De modo análogo, en la física contemporánea, la necesidad de comprender fenómenos que no podían explicarse mediante la geometría euclidiana condujo al desarrollo de geometrías de espacios curvos, fundamentales para modelar la estructura del espacio-tiempo. En ambos casos, la geometría no aparece como un sistema abstracto cerrado, sino como una forma de racionalidad que se expande para dar cuenta de problemas reales y de la experiencia del mundo.
La matemática, en cambio, especialmente en su desarrollo moderno, se define por su carácter estrictamente formal y simbólico: sus objetos no remiten a ninguna intuición privilegiada, sino que existen únicamente dentro de sistemas axiomáticos y reglas de inferencia. Mientras la geometría organiza relaciones espaciales bajo estructuras deductivas, la matemática contemporánea opera con el método axiomático como un conjunto de estructuras formales autónomas, donde la validez de las proposiciones depende exclusivamente de su coherencia interna y demostrabilidad, y no de su posible correspondencia con la realidad o con alguna forma de intuición (Bourbaki, 1965).
Suele afirmarse que la filosofía comparte con las matemáticas el hecho de que usaron sus estructuras demostrativas para desarrollarse desde Platón hasta Wittgenstein —pasando por Aquino, Spinoza y Husserl—, y desde Euclides hasta Hilbert —pasando por Arquímedes, Newton, Gauss y Riemann—. Sin embargo, esta afirmación oculta una diferencia decisiva. En su desarrollo, la filosofía se ha mantenido más próxima a la geometría —en particular, a la geometría euclidiana— que a la matemática en su acepción moderna, porque parten de una abstracción de lo real: la primera elabora estructuras de sentido, formas de vida y condiciones de posibilidad de la experiencia, mientras que la segunda abstrae figuras posibles del mundo sensible.
Ya en Leibniz encontramos una distinción clave. Para él, la geometría —entendida en el siglo XVII aún en continuidad con la tradición euclidiana— conserva una relación privilegiada con la intuición y con las esencias posibles del mundo, mientras que la matemática simbólica avanza hacia un cálculo formal que puede operar sin referencia directa a la realidad empírica. Leibniz sugiere que la geometría no es un mero juego de signos, sino una ciencia de las relaciones reales posibles, mientras que el álgebra permite una manipulación formal cuya verdad no depende de la experiencia, sino de la coherencia interna del sistema (Leibniz, 1983).
Esta diferencia se radicaliza con Kant, quien distingue claramente entre las matemáticas, las ciencias de la naturaleza y los saberes que tratan de la acción humana. Para Kant, las matemáticas se fundan en juicios sintéticos a priori apoyados en la intuición pura del espacio y del tiempo, mientras que las ciencias sociales y la filosofía práctica no pueden operar con el mismo tipo de demostración, pues su objeto —la libertad, la moral, la sociedad— no se deja subsumir bajo esquemas formales cerrados (Kant, 2007). La filosofía, así, permanece ligada a la realidad vivida, no a la pura formalización.
El giro lógico de finales del siglo XIX y comienzos del XX profundiza la separación. Frege y luego Russell buscan fundamentar las matemáticas no en la intuición geométrica, sino en la lógica pura. El número deja de ser una propiedad del mundo para convertirse en una entidad definida por relaciones lógicas y lingüísticas. Paralelamente, la teoría de conjuntos de Cantor introduce un nuevo dominio de entidades matemáticas —los infinitos actuales— que ya no encuentran anclaje alguno en la experiencia ni en la intuición espacial, abriendo así la llamada crisis de los fundamentos en torno a 1900.
Frente a esta crisis, Hilbert propone un programa explícitamente formalista: asegurar la validez de las matemáticas no por su referencia a la realidad, sino por la consistencia interna de sistemas axiomáticos rigurosamente formalizados. Con ello, las matemáticas alcanzan una autonomía sin precedentes: ya no necesitan del espacio, ni de la experiencia, ni siquiera de la geometría, sino de un sistema lógico formalmente consistente (Cantor, 1983; Hilbert, 1988; Frege, 1998; Russell, 2004).
Esta autonomización alcanza su punto más radical con el desarrollo de los lenguajes formales y la matematización extrema de la ciencia. En numerosos casos, la matemática se convierte en un sistema autosuficiente, cuya verdad es interna al sistema y no externa al mundo. Que estos sistemas encuentren luego aplicaciones prácticas —en la física, la economía o la ingeniería— no implica que hayan sido creados desde la realidad, sino que la realidad resulta compatible con ellos en ciertos puntos.
La aplicación, por tanto, aparece como contingente, no como constitutiva del saber matemático. Sin embargo, esta caracterización no agota la diversidad interna de la matemática. Existen también áreas cuyo origen está ligado a procesos de abstracción a partir de prácticas, regularidades o problemas concretos; por ejemplo, la teoría de grafos surge del análisis de redes y relaciones discretas; la optimización matemática se desarrolla a partir de problemas de asignación, costos y decisiones; la teoría de la información nace del estudio de la comunicación y la transmisión de señales; y la topología algebraica, aunque altamente abstracta, se origina en la necesidad de clasificar formas y espacios a partir de invariantes cualitativos. En estos casos, la formalización no suprime el vínculo con la experiencia o la práctica, sino que lo reconfigura en un nivel estructural, ampliando su alcance sin perder del todo su motivación originaria.
Un ejemplo paradigmático del impacto aplicado del trabajo de John von Neumann es el desarrollo del método de Monte Carlo, una técnica matemática basada en probabilidad y cálculo formal, concebida originalmente para resolver problemas de física nuclear durante el Proyecto Manhattan. Von Neumann, junto con Stanislaw Ulam, desarrolló este método para simular procesos físicos complejos —como la difusión de neutrones en reactores nucleares— que no podían resolverse analíticamente mediante ecuaciones cerradas. El método permitió modelar comportamientos estocásticos en sistemas altamente complejos y se convirtió en una herramienta fundamental no solo para la energía nuclear, sino también para la ingeniería energética, la industria petrolera (simulación de yacimientos, optimización de extracción) y, posteriormente, para la informática y la inteligencia artificial (von Neumann & Ulam, 1947).
Estos usos no se siguen de manera directa de la matemática misma, sino que requirieron la intervención de científicos, ingenieros y economistas capaces de traducir estructuras formales en modelos operativos ajustados a condiciones materiales concretas. En este sentido, la eficacia práctica de tales teorías no puede atribuirse de manera directa a la matemática pura, sino a un proceso de mediación técnica que conecta formalismo y realidad, mientras que la matemática, en su génesis y validación, permanece esencialmente indiferente a su realización empírica.
Ahora bien, esta mediación no es solo un problema técnico, sino también conceptual: plantea la cuestión de cómo los sistemas formales adquieren sentido cuando se insertan en prácticas humanas concretas. Allí donde la matemática puede permanecer cerrada sobre su coherencia interna, otras formas de saber —en particular la filosofía— no pueden sustraerse a la pregunta por el significado, el contexto y el uso.
El paso del formalismo a la aplicación revela así una diferencia más profunda entre disciplinas que pueden abstraerse de la experiencia y aquellas cuyo objeto está constitutivamente ligado a ella. En contraste, la filosofía nunca puede desligarse de la realidad sin perder su objeto. Incluso cuando abstrae, lo hace desde y hacia el mundo. Wittgenstein, especialmente en su segunda etapa, mostró que el significado no reside en sistemas formales autosuficientes, sino en el uso, en las prácticas y en las formas de vida. Su crítica al ideal lógico de Frege y Russell devuelve el pensamiento al terreno donde la filosofía se reconoce: el de la vida ordinaria y el lenguaje natural, no el de la formalización absoluta (Wittgenstein, 2009).
Esta vocación de anclaje en lo real se refuerza de manera clara en la filosofía contemporánea. Para Habermas, la racionalidad filosófica no se funda en la deducción formal ni en sistemas lógicos autosuficientes, sino en la acción comunicativa: el sentido y la validez emergen de la intersubjetividad, del diálogo y de las condiciones sociales del entendimiento. La filosofía no demuestra como las matemáticas; argumenta, problematiza y se expone al disenso. Esto se debe a que su objeto —la sociedad— es dinámico, histórico y normativamente cargado (Habermas, 1987). En este marco, la racionalidad se mide no por la coherencia interna de un sistema, sino por su capacidad de sostener procesos de comprensión y crítica en contextos concretos.
Este desplazamiento desde el ideal de formalización cerrada hacia una concepción del sentido ligada al uso y al contexto permite iluminar, desde otro registro, desarrollos tecnológicos contemporáneos como el procesamiento del lenguaje natural. A diferencia del proyecto lógico clásico —que aspiraba a sustituir el lenguaje ordinario por un sistema formal perfecto—, estas técnicas matemáticas altamente abstractas no buscan eliminar la ambigüedad, sino modelarla de manera probabilística, incorporando variación, contexto y prácticas de uso. Paradójicamente, la matemática ingresa aquí en el dominio del lenguaje cotidiano no para clausurarlo en un formalismo, sino para operar sobre su complejidad irreductible.
De este modo, tanto la filosofía habermasiana como ciertas aplicaciones contemporáneas de la matemática muestran que el conocimiento no se agota en la deducción formal. Mientras la matemática puede mantenerse indiferente a la realidad empírica en su validación interna, la filosofía permanece constitutivamente ligada a los procesos sociales de sentido. El contraste no implica oposición, sino una diferencia estructural de funciones: la matemática construye sistemas formales; la filosofía interroga las condiciones bajo las cuales esos sistemas adquieren significado y relevancia en el mundo social.
En este sentido, la distancia creciente entre matemáticas y realidad no debe entenderse simplemente como una ruptura, sino como una transformación en la forma de organización del saber. Bourbaki recurre a la metáfora de una arquitectura para describir el desarrollo matemático: una construcción en la que las teorías no se yuxtaponen como compartimentos estancos, sino que se ordenan jerárquicamente a partir de estructuras fundamentales, de las cuales derivan formas más complejas y especializadas. Desde esta óptica, la unidad de la matemática no reside en su contenido empírico ni en una intuición común, sino en un método estructural que permite articular niveles crecientes de abstracción.
Precisamente por ello, allí donde el formalismo se cierra sobre sí mismo, la analogía con la filosofía se debilita; pero allí donde la abstracción conserva un vínculo estructural con la experiencia —como ocurre en ciertas áreas de la geometría, la topología o la teoría de modelos— la cercanía entre filosofía y matemática reaparece bajo una forma renovada (Bourbaki, 1965).
Por ello, afirmar que la filosofía se halla más próxima a la geometría que a la matemática no implica desconocer la diversidad interna de esta última. La matemática contemporánea, en gran parte de sus desarrollos, se define por una orientación formalista y axiomática que la distancia de toda referencia constitutiva a la experiencia; sin embargo, coexisten en ella ramas que, al igual que la geometría clásica, se originan en procesos de interacción, abstracción y modelización del mundo. En estos dominios, la formalización no suprime el vínculo con lo real, sino que lo reorganiza en estructuras conceptuales de mayor generalidad. La filosofía, por ello, ya no puede pensarse como análoga a la matemática en su totalidad, pero sí como afín a aquellas áreas que, sin renunciar al rigor, conservan una orientación hacia las formas del mundo, del lenguaje y de la experiencia. Allí donde la matemática mantiene ese anclaje abstractivo, filosofía y geometría vuelven a encontrarse; allí donde el formalismo se cierra sobre sí mismo, la analogía deja de ser pertinente.
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* Filósofo y Abogado, Docente-investigador PUCE-Q
** Matemático, Docente-investigador PUCE-Q
Referencias
Bourbaki, N. (1965). “La arquitectura de las matemáticas”. En Elementos de historia de las matemáticas. Madrid: Alianza.
Cantor, G. (1983). Fundamentos de una teoría general de conjuntos. Madrid: Alianza.
Frege, G. (1998). Los fundamentos de la aritmética. Barcelona: Herder.
Habermas, J. (1987). Teoría de la acción comunicativa, Vol. I: Racionalidad de la acción y racionalización social. Madrid: Taurus.
Hilbert, D. (1988). Fundamentos de la matemática. Madrid: Tecnos.
Kant, I. (2007). Crítica de la razón pura (trad. Pedro Ribas). Madrid: Taurus.
Leibniz, G. W. (1983). Nuevos ensayos sobre el entendimiento humano. Madrid: Editora Nacional.
Russell, B. (2004). Introducción a la filosofía matemática. Madrid: Alianza.
von Neumann, J., & Ulam, S. (1947). The Monte Carlo method. Journal of the American Statistical Association, 44(247), 335–341.
Wittgenstein, L. (2009). Investigaciones filosóficas (trad. A. García Yebra). Madrid: Trotta.